তিনটি সমান মানের বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের অনুপাত কত?

যখন তিনটি সমান মানের বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে, তখন প্রতিটি বলের মধ্যবর্তী কোণ অবশ্যই \(120^\circ\) হতে হবে। এটি ভেক্টর যোগের নীতি এবং লামীর উপপাদ্য (Lami's Theorem) থেকে বোঝা যায়।

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, তিনটি বল হলো \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\) এবং \(\vec{F_3}\)।

প্রশ্নানুসারে, বলগুলোর মান সমান, অর্থাৎ \(|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |\vec{F_3}| = F\)।

সাম্যাবস্থার শর্তানুযায়ী, বল তিনটির লব্ধি শূন্য হবে:

\(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}\)

এর অর্থ হলো, যেকোনো দুটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান ও বিপরীত হবে।

যেমন, \(\vec{F_1} + \vec{F_2} = -\vec{F_3}\)।

সুতরাং, \(|\vec{F_1} + \vec{F_2}| = |-\vec{F_3}| = |\vec{F_3}| = F\)।

দুটি বল \(F_1\) এবং \(F_2\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, তাদের লব্ধির মান \(R\) এর সূত্র হলো:

\(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta}\)

এখানে \(R = F\), \(F_1 = F\) এবং \(F_2 = F\)।

সুতরাং,

\(F = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F \cdot F \cos\theta}\)

\(F = \sqrt{2F^2 + 2F^2\cos\theta}\)

উভয়পাশে বর্গ করে পাই,

\(F^2 = 2F^2 + 2F^2\cos\theta\)

\(F^2 - 2F^2 = 2F^2\cos\theta\)

\(-F^2 = 2F^2\cos\theta\)

\(2\cos\theta = -1\) (উভয়পাশে \(F^2\) দ্বারা ভাগ করে)

\(\cos\theta = -\frac{1}{2}\)

অতএব, \(\theta = 120^\circ\)।

যেহেতু তিনটি বলের মান সমান এবং তারা সাম্যাবস্থায় আছে, তাই প্রতিটি বল অন্য দুটি বলের সাথে \(120^\circ\) কোণ তৈরি করবে।

সুতরাং, তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণগুলো হলো \(120^\circ, 120^\circ, 120^\circ\)।

কোণের অনুপাত হবে \(120^\circ : 120^\circ : 120^\circ\)।

অন্যান্য অপশনগুলো এই শর্ত পূরণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোণগুলো ভিন্ন হতো (যেমন \(90^\circ, 90^\circ, 180^\circ\) বা \(60^\circ, 60^\circ, 240^\circ\)), তাহলে সমান মানের বলগুলো সাম্যাবস্থায় থাকতে পারত না। একটি \(180^\circ\) কোণ মানে দুটি বল একে অপরের বিপরীত দিকে কাজ করছে, যা তৃতীয় বলের অনুপস্থিতিতে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করতে পারে, কিন্তু তৃতীয় বলের উপস্থিতিতে সমান মানের তিনটি বলের জন্য তা প্রযোজ্য নয়।